Cours d'algèbre dispensé à l'ENS Lyon, session 2019
Cette page regroupe la liste des cours et exercices de révisions d'algèbre donnés à l'ENS Lyon en 2018-2019 dans le cadre de la préparation à l'agrégation.
Si vous consultez occasionnellement, ou régulièrement, ces documents, je vous invite à m'informer par email à l'adresse benoit.loisel[at]ens-lyon.fr :
- de l'utilité que présentent pour vous ces documents (en tant qu'enseignant pour préparer vos cours, en tant qu'étudiant lors de votre préparation, etc...) ;
- des différentes erreurs (mathématiques, fautes de frappe, d'orthographe, de grammaire, de syntaxe) que vous auriez constatées afin que je les corrige ;
- de toute suggestion d'amélioration sur le fond comme sur la forme ;
- des exemples, applications, exercices que vous auriez aimé voir apparaître dans le cours ou les fiches d'exercices ;
- de toute autre information qui vous semblerait pertinente.
Calendrier des séances
- 14/09 : Choix de programme et espaces vectoriels quotients.
- 21/09 : Bidualité, orthogonalité, transposition. Réduction.
- 28/09 : Invariants de similitude.
- 05/10 : Révisions sur les groupes, actions de groupes et groupes finis.
- 12/10 : Pivot de Gauss, groupe linéaire et ses sous-groupes.
- 19/10 : Anneaux Euclidiens, principaux, factoriels, noethériens.
- 26/10 : Anneaux Z/nZ ; groupe des racines de l'unité et cyclotomie.
- 09/11 : Extensions de corps, corps de rupture, algébricité et transcendance.
- 16/11 : Corps algébriquement clos et clôtures algébriques. Générateurs, corps de décomposition. Frobeniuseries.
- 23/11 : Anneaux de polynômes en n indéterminées. Polynômes symétriques et antisymétriques. Racines et relations coefficients-racines.
- 30/11 : Critères d'irréductibilités de polynômes.
- 07/12 : Définitions et propriétés élémentaires des formes quadratiques sur un corps quelconque. Lien avec les formes bilinéaires.
- 14/12 : Classification et réduction des formes quadratiques, sur un corps quelconque ou spécifique.
- 21/12 : Formes sesquilinéaires. Endomorphismes remarquables associés à une forme sesquilinéaire ou quadratique.
- Ski 1 : Résidus quadratiques et symboles de Legendre
- Ski 2 : (Léo Poyeton) Résultant
- Ski 3 : Anneau des séries formelles
- Ski 4 : (Léo Poyeton) Loi de réciprocité quadratique par le résultant
- 01/02 : (Auguste Hébert) Représentations linéaires complexes, premiers résultats.
- 08/02 : (Auguste Hébert) Caractères et tables de caractères.
- 15/03 : (Auguste Hébert) Structure, dualité et classification des groupes abéliens de type fini. Transformation de Fourier discrète.
- 01/03 : Quelques résultats sur l'exponentielle de matrices, inversion locale, sous-variétés et groupes de Lie linéaires.
- 08/03 : Séance de correction d'exercices.
- 15/03 : (Léo Poyeton) Équations diophantiennes
Polycopiés de cours
Planches d'exercices
À l'exception des feuilles n°15 et 16, toutes les feuilles d'exercices sont organisées en 3 sections :
- À faire : exercices qu'il est bon de savoir refaire dans le cadre de l'agrégation
- Problèmes : exercices plus longs, qui peuvent parfois s'adapter pour donner lieu à un développement en leçon
- Pour aller plus loin : exercices qui dépassent le cadre de l'agrégation mais dont la résolution n'utilise que des outils du programme et qui peuvent enrichir la culture mathématique d'un candidat
Dernière mise à jour : 10 avril 2019