Cours d'algèbre et matrices dispensé à l'ENS Lyon, session 2020
Cette page regroupe la liste des cours et exercices de révisions d'algèbre donnés à l'ENS Lyon en 2019-2020 dans le cadre de la préparation à l'agrégation.
Si vous consultez occasionnellement, ou régulièrement, ces documents, je vous invite à m'informer par email à l'adresse benoit.loisel[at]ens-lyon.fr :
- de l'utilité que présentent pour vous ces documents (en tant qu'enseignant pour préparer vos cours, en tant qu'étudiant lors de votre préparation, etc...) ;
- des différentes erreurs (mathématiques, fautes de frappe, d'orthographe, de grammaire, de syntaxe) que vous auriez constatées afin que je les corrige ;
- de toute suggestion d'amélioration sur le fond comme sur la forme ;
- des exemples, applications, exercices que vous auriez aimé voir apparaître dans le cours ou les fiches d'exercices ;
- de toute autre information qui vous semblerait pertinente.
Calendrier des séances
- 13/09 : Espaces quotients, dualité, codimension.
- 18/09 : Correction TD1. Rappels sur la réduction des endomorphismes.
- 20/09 : Facteurs invariants. Réduction de Frobenius et de Jordan. Calculs des facteurs invariants.
- 27/09 [A. Hébert] Représentations linéaires complexes des groupes finis.
- 04/10 [A. Hébert] Caractères et tables.
- 09/10 : Correction TD2&3. Extensions de corps (1/2).
- 11/10 [A. Hébert] Groupe dual et transformée de Fourier rapide.
- 18/10 : Extensions de corps (2/2). Frobeniuseries.
- 25/10 : Clôtures algébriques. Correction TD4&5. Formes hermitiennes.
- Vacances Toussaint (en autonomie) Révisions de théorie des groupes (simplicité, sous-groupes distingués, quotients, normalisateur, générateurs et relations).
- 06/11 : Correction TD6.
- 08/11 : Réduction des endomorphismes normaux.
- 15/11 : Déterminant. Pivot de Gauss. Groupes linéaires.
- 22/11 : Correction TD7&8Normes matricielles. Théorème spectral réel et complexe.
- 29/11 : Décompositions matricielles (LU, Choleski, QR). Résolution de systèmes linéaires : conditionnement, méthodes directes (méthodes itératives en option B).
- 06/12 : Généralités sur les anneaux.
- 13/12 : Critères d'irréductibilités, cyclotomie, racines de l'unité.
- 20/12 : Polynômes à n indéterminées, polynômes symétriques et relations coefficients-racines.
- Ski 1 : Exponentielles de matrice. (Application à la résolution d'EDL à coefficients constants. Portraits de phase.)
- 29/01 : Correction TD 9,10,11,12,17
- 31/01 : Formes quadratiques sur un corps de caractéristique différente de 2.
- 05/02 : Correction TD 13,14,15
- 07/02 : Classification des formes quadratiques. Coniques et quadriques.
- 14/02 : Résidus quadratiques et loi de réciprocité quadratique.
- 19/02 : Corrections TD 16,18,19
- 21/02 : [A. Hébert] Méthodes de dénombrement.
- 28/02 : Correction TD 20,21 Compléments d'arithmétique: anneau des entiers de Gauss, lemme de Hensel, équations diophantiennes linéaires.
Polycopiés de cours
Mise en garde: il faut distinguer ce qui, dans les polycopiés de cours fait partie des notions à maitriser pour l'agrégation et ce qui est donné à titre culturel. En début de polycopié on trouvera un rappel de ce qui est mentionné par le programme. S'il n'y a aucun rappel sur ce qui est au programme, il faut comprendre que le cours sert uniquement à apporter des compléments culturels aux candidats afin qu'ils comprennent mieux le contexte mathématique des développements qu'ils seront amenés à présenter dans leurs leçons.
Planches d'exercices
À l'exception de la feuille n°21, toutes les feuilles d'exercices sont organisées en 3 sections :
- À faire : exercices qu'il est bon de savoir refaire dans le cadre de l'agrégation
- Problèmes : exercices plus longs, qui peuvent parfois s'adapter pour donner lieu à un développement en leçon
- Pour aller plus loin : exercices qui dépassent le cadre de l'agrégation mais dont la résolution n'utilise que des outils du programme et qui peuvent enrichir la culture mathématique d'un candidat
Dernière mise à jour : 26 février 2020